We hebben de volgende constructie: lijnsegmenten \(ABC\) en \(CDE\) met verhoudingen \(\frac{AB}{AC}=\frac{CD}{CE}\); en parallellogram \(BCDF\). We willen aantonen dat 1) \(A\), \(F\) en \(E\) op één lijn liggen, en 2) dat \(\frac{AF}{AE}=\frac{AB}{AC}\).
Hiermee tonen we namelijk aan dat \(F\) een verkleining traceert van het pad dat \(E\) traceert, als \(A\) vast staat.
Opgaven
- Toon aan dat driehoeken \(ABF\) en \(ACE\) gelijkvormig zijn.
- Toon aan dat driehoeken \(ACE\) en \(FDE\) gelijkvormig zijn. (Daarmee zijn dus ook \(ABF\) en \(FDE\) gelijkvormig. Tip: schrijf eerst \(\frac{BC}{AC}\) en \(\frac{DE}{CE}\) zo ver mogelijk uit.)
- Toon hiermee aan \(A\), \(F\) en \(E\) op één lijn liggen.
- Toon hiermee aan dat \(\frac{AF}{AE}=\frac{AB}{AC}\).
Uitwerkingen
Bewijs.
- Allereerst geldt \(BF=CD\) door de eigenschappen van een parallellogram. Verder weten we \(\angle ABF = \angle ACE\) (F-hoeken). Nu weten we \(\frac{AB}{AC}=\frac{CD}{CE}=\frac{BF}{CE}\), dit kunnen we omschrijven naar \(\frac{AB}{BF}=\frac{AC}{CE}\). Dit is genoeg om te stellen dat \(ABF\) en \(ACE\) gelijkvormig zijn (een gelijke hoek, en een gelijke verhouding tussen de zijden aanliggend aan die hoek).
Bewijs.
- Hier weten we \(\angle ACE = \angle FDE\) (F-hoeken). Als op dezelfde manier als bij de vorige opgave willen aantonen dat \(ACE\) en \(FDE\) gelijkvormig zijn, moeten we nu eerst aantonen dat \(\frac{FD}{DE}=\frac{AC}{CE}\). Dit kan met wat extra stappen. Laten we eerst kijken wat \(\frac{BC}{AC}\) is:
\[\frac{BC}{AC}=\frac{AC-AB}{AC}=\frac{AC}{AC}-\frac{AB}{AC}=1-\frac{AB}{AC}\]
Iets gelijks vinden we voor \(\frac{DE}{CE}\): \[\frac{DE}{CE}=\frac{CE-CD}{CE}=\frac{CE}{CE}-\frac{CD}{CE}=1-\frac{CD}{CE}\]
Maar we weten dat \(\frac{AB}{AC}=\frac{CD}{CE}\), dus \(\frac{BC}{AC}=\frac{DE}{CE}\).
Ook geldt \(BC=DF\) door de eigenschappen van een parallellogram, dus \(\frac{DF}{AC}=\frac{DE}{CE}\). Dit kunnen we omschrijven naar \(\frac{DF}{DE}=\frac{AC}{CE}\). Dit is genoeg om te stellen dat \(FDE\) en \(ACE\) gelijkvormig zijn (een gelijke hoek, en een gelijke verhouding tussen de zijden aanliggend aan die hoek).
Bewijs.
- We weten \(\angle BCD=\angle DFB\) door de eigenschappen van een parallelogram, wat weer gelijk is aan \(\angle ABF\). Ook weten we dat \(\angle BAF=\angle DFE\) omdat deze driehoeken gelijkvormig zijn. Dus weten we dat \(\angle AFB + \angle BFD + \angle DFE = \angle AFB + \angle ABF + \angle BAF = 180^\circ\). Dus \(AFE\) ligt op één lijn.
Bewijs.
- We weten we \(BAF\) en \(CAE\) gelijkvormig zijn. Dus \(\frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC}\). Dit kunnen we omschrijven naar \(\frac{AF}{AE}=\frac{AB}{AC}\).