Stel wij zetten gelijkvormige driehoeken \(\triangle ABP\) en \(\triangle A'P'C'\) op elkaar zodat ze het punt \(P\) gemeen hebben. Beide hebben dezelfde hoeken \(\alpha, \beta, \gamma\) en wij zeggen dat \(\angle A'PA = \alpha + \epsilon\), zodat voor \(\epsilon=0\) het lijnstuk \(A'P\) evenwijdig is aan \(AB\).
Aan de andere kant zien we, dat dan \(\angle BPC' = \pi-\epsilon\). Nu completteren we \(APA'\) en \(BPC'\) elk tot een parallellogram, zodat de nieuwe punten \(Q\) en \(R\) ontstaan.
- Knutsel met het aangeleverde materiaal een constructie zoals in Figuur 3. Fixeer het punt \(Q\) en traceer met het punt \(B\) een zekere figuur terwijl je met \(C'\) een figuur laat tekenen. Wat is je observatie? Geef een bewijs!
- Fixeer nu \(B\), traceer het figuur met \(Q\) en laat \(C'\) een figuur tekenen. Probeer ook elk van de andere mogelijkheden om de rollen van vast punt, traceerpunt en tekenpunt aan \(Q,B,C'\) toe te kennen.
- Onderzoek van de speciale gevallen, waar één van de hoeken \(\alpha, \beta, gamma\) gelijk aan \(\pi\) is. Maak een tekening van het bijbehorende tekengerei.
Wij noemen
De pantograaf is dus een speciaal geval van de plagiograaf. Hij werd door James L. Sylvester uitgevonden en hij noemde de plagiograaf ook wel de “schuine pantograaf”(1875). Over deze plagiograaf hebben we nu het volgende ingezien:
Stelling 1 Bij een plagiograaf zoals hierboven, met een vast punt \(Q\), is de driehoek \(\triangle QBC'\) gelijkvormig met \(\triangle ABP \sim \triangle A'PC'\). Dit heeft tot gevolg dat als we met het punt \(B\) een figuur op het vlak traceren, tegelijkertijd het punt \(C'\) een gelijkvormige figuur tekent, die met een factor \(\frac{|AP|}{|AB|}\) is vergroot en om de hoek \(\alpha\) is gedraaid.
Nu bekijken we het koppelkrommenmechanisme van Figuur 4 (a)
Na onze ervaring met de plagiograaf zou je op het idee kunnen komen er parallellogrammen aan vast te plakken zoals in Figuur 4 (b). Op \(A'S\) en \(SB''\) zetten we dan zo een keer twee gelijkvormige kopieën \(\triangle A'SC'\) en \(\triangle SB''C''\) van onze droekhoek \(\triangle ABS\). Nu kunnen we \(C'SC''\) met een punt \(R\) tot een parallellogram completeren tot Figuur 4 (c).
Stelling 2 (Tchebychev, Roberts) Als bij de constructie van Figuur 4 (c) \(P\) en \(Q\) vast blijven, dan blijft ook het punt \(R\) vast.
Bewijs. \(R'\) zij het eenduidig bepaalde vaste punt, zodat \(\triangle PQR' \sim \triangle ABS\). De driehoeken \(\triangle ABS\) en \(\triangle A'SC'\) vormen met \(P\) een pantograaf, die een punt \(B\) op een punt \(C'\) afbeeldt, waar \(\angle BPC' = \alpha\) en \(\frac{|BP|}{|PC'|} = \frac{|AB|}{|AS|}\).
Nu ligt \(B\) op een cirkel rond \(Q\) met straal \(|BQ|\). De pantograaf beeldt in dat deel van de cirkel rond \(Q\) met straal \(|BQ|\). De pantograaf beeldt nu dat deel van de cirkel rond \(Q\) met straal \(|BQ|\), waar \(B\) kan komen, af op een cirkel rond het punt \(R'\) met straal \(\frac{|AS|}{|AB|}\cdot|BQ| = \frac{|SC''|}{|SB''|}\cdot |BQ| = |SC''|\).
Maar ook de driehoeken \(\triangle ABS\) en \(\triangle SB''C''\) vormen met \(Q\) een plagiograaf, die het punt \(A\) dat op een cirkel rond \(P\) met straal \(|AP|\) ligt op een cirkel rond \(R'\) met straal \(|SC'|\) afbeeldt.
Dus moet \(R=R'\) wezen en dit punt blijft bij de beweging van het mechanisme vast. \(\Box\)