We hebben de volgende constuctie: een ruit \(ABCD\) met zijden \(x\); twee staven \(AE\) en \(CE\) met lengtes \(y\); en staven \(BF\) en \(EF\) met lengtes \(z\). Het middelpunt van de ruit \(ABCD\) noemen we \(G\). We willen aantonen dat punt \(D\) over een rechte lijn beweegt als staaf \(EF\) vast staat, en dat deze lijn loodrecht staat op staaf \(EF\).
Opgaven
We hebben de volgende constructie: een ruit \(ABCD\) met zijde \(x\); twee staven \(AE\) en \(CE\) met lengtes \(y\); en staven \(BF\) en \(EF\) met lengtes \(z\). Het middelpunt van de ruit \(ABCD\) noemen we \(G\). We willen aantonen dat punt \(D\) over een rechte lijn beweegt als staaf \(EF\) vast staat, en dat deze lijn loodrecht staat op staaf \(EF\).
- Toon aan dat punten \(E\), \(B\), \(D\), en \(G\) op één lijn liggen.
- Toon hiermee aan dat \(EB \cdot ED\) (dus de vermenigvuldiging van de twee lengtes) constant is. Tip: gebruik de stelling van Pythagoras.
- Voeg nog twee punten toe: H is een punt op de lijn \(EF\) zodanig dat \(EH=2z\) en \(FH=z\); en \(I\) is een punt op de lijn \(EF\) zodanig dat \(\angle EID\) een rechte hoek is. Toon aan dat \(EI\) constant is. (Dit bewijst dat punt \(D\) over een rechte lijn beweegt, loodrecht op \(EF\).) Tip: gebruik gelijkvormigheid en de stelling van Thales.
Uitwerkingen
Bewijs.
- Omdat \(ABCD\) een ruit is, geldt \(AB=BC\) en \(AD=CD\). Dus is \(ABD\) congruent aan \(CBD\) (ZZZ), dus \(\angle ABD = \angle CBD\). Ook geldt dat \(ABE\) congruent is aan \(CBE\) (ZZZ), dus \(\angle ABD = \angle CBE\). Dus \(\angle ABD + \angle ABE = \angle CBD + \angle CBE\). En \(\angle ABD + \angle ABE + \angle CBD + \angle CBE = 360^\circ\), dus \(2(\angle ABD + \angle ABE)=360^\circ\), dus \(\angle ABD + \angle ABE=180^\circ\), dus \(D\), \(B\), en \(E\) liggen op één lijn. En \(G\) is het middelpunt van \(BD\), dus dat ligt ook op deze lijn.
Bewijs.
- Omdat \(ABCD\) een ruit is, geldt \(BG=DG\). \[EB \cdot ED = (EG-BG)\cdot(EG+DG)=(EG - BG)\cdot(EG+BG)=(EG)^2-(BG)^2\] \[(EG)^2=y^2-(AG)^2\] \[(BG)^2=x^2-(AG)^2\] \[EB \cdot ED = y^2-(AG)^2 - (x^2-(AG)^2) = y^2-x^2\] en dit is dus constant.
Bewijs.
- Omdat \(FE=FB=FH=z\), liggen \(E\), \(B\), en \(H\) op een cirkel met middelpunt \(F\) en radius \(z\). Dus geldt dat hoek \(\angle EBH\) een rechte hoek is (stelling van Thales). Omdat ook geldt dat \(\angle DEI =\angle HEB\), hebben we twee gelijkvormige driehoeken \(HBE\) en \(DEI\) (twee gelijke hoeken). Dus weten we dat \(\frac{EB}{EH}=\frac{EI}{ED}\). Omschrijven geeft: \[EI=\frac{EB\cdot ED}{EH} = \frac{y^2-x^2}{2z}\] Dus is \(EI\) constant en beweegt \(D\) over een rechte lijn.