Synthese van Vierstangenmechanismen

Een vierstangenmechanisme bestaat uit vier stangen die via scharnieren met elkaar verbonden zijn tot een gesloten lus. Eén stang staat vast en heet de grond¹. De twee stangen die aan de grond bevestigd zijn, noemen we de kruk² en de volger³. De vierde stang, die kruk en volger aan elkaar koppelt, is het koppellichaam⁴.

¹ De vaste stang; het referentiekader waaraan alle bewegingen worden gemeten.

² De aangedreven stang die een (gedeeltelijke) omwenteling maakt om het vaste scharnier.

³ De stang die door het koppellichaam wordt meegenomen en om het andere vaste scharnier draait.

⁴ De stang die de beweging overbrengt en waarop het koppelpunt — of het werktuig — zit.

⁵ Eén ingangsparameter — de krukhoek — legt de toestand van het hele mechanisme vast.

De constructie heeft precies één vrijheidsgraad⁵: zodra de krukhoek vastligt, is de positie van het hele mechanisme bepaald. Daardoor is het eenvoudig aan te drijven — een ronddraaiende motor stuurt het koppellichaam langs een volledig vastgelegd traject.

Figuur 1: De vier onderdelen van een vierstangenmechanisme. De vaste scharnieren A en D zitten op de grond; B en C zijn de bewegende scharnieren.

Koppelkrommen

Een punt op de kruk of de volger beschrijft een cirkelbaan, wat direct volgt uit het scharnier op de grond. Interessanter is wat er met een punt op het koppellichaam gebeurt: dat beschrijft een algemenere, vaak sierlijke kromme die we de koppelkromme⁶ noemen. De vorm ervan hangt sterk af van de verhoudingen tussen de stanglengtes en de keuze van het punt op het koppellichaam.

⁶ Het pad dat een punt op het koppellichaam in de vaste ruimte beschrijft bij een volledige omwenteling van de kruk.

Interactieve koppelkromme

De vaste scharnieren liggen in \(A = (0,0)\) en \(D = (d, 0)\) met \(d = 3\). De kruk \(AB\) heeft lengte \(a\), de koppelstang \(BC\) lengte \(b = 2{,}5\) (het koppellichaam is als driehoek afgebeeld), en de volger \(CD\) lengte \(c\). Het koppelpunt \(P\) ligt vast op het koppellichaam. Pas de sliders aan om de koppelkromme te verkennen.

b_v = 2.5;   // koppelstanglengte BC
d_v = 3.0;   // grondlengte AD
e_v = 1.25;  // koppelpunt langs BC (= helft van b)
f_v = 1.08;  // koppelpunt loodrecht op BC (≈ gelijkzijdige driehoek)

// ── Sliders ───────────────────────────────────────────────────────────────────
viewof a_kruk = Inputs.range([0.5, 2.5], {
  value: 1.0, step: 0.05,
  label: "a — kruk (AB)"
})

viewof c_volger = Inputs.range([0.5, 3.5], {
  value: 2.0, step: 0.05,
  label: "c — volger (CD)"
})

viewof theta_kruk = {
  const TWO_PI = 2 * Math.PI;

  const wrap  = document.createElement("div");
  wrap.style.cssText = "display:flex;align-items:center;gap:10px;font-family:sans-serif;margin:4px 0";

  const label = document.createElement("label");
  label.textContent = "θ — krukhoek (rad)";
  label.style.minWidth = "130px";

  const btn = document.createElement("button");
  btn.type = "button";
  btn.textContent = "▶";
  btn.style.cssText = "font-size:13px;width:34px;height:34px;cursor:pointer;" +
                      "border:1px solid #ccc;border-radius:4px;background:#f5f5f5;" +
                      "display:flex;align-items:center;justify-content:center;line-height:1";

  const range = document.createElement("input");
  range.type = "range";
  range.min = "0"; range.max = "6.2832"; range.step = "0.01"; range.value = "0.5";
  range.style.width = "260px";

  const out = document.createElement("span");
  out.style.cssText = "min-width:55px;font-variant-numeric:tabular-nums";
  out.textContent = "0.50 rad";

  wrap.append(label, btn, range, out);

  let timer = null;

  btn.onclick = () => {
    if (timer) {
      clearInterval(timer);
      timer = null;
      btn.textContent = "▶";
    } else {
      btn.textContent = "▮▮";
      timer = setInterval(() => {
        let v = +range.value + 0.03;
        if (v > TWO_PI) v = 0;
        range.value = v;
        range.dispatchEvent(new Event("input", {bubbles: true}));
      }, 40);
    }
  };

  range.oninput = () => {
    out.textContent = (+range.value).toFixed(2) + " rad";
    wrap.value = +range.value;
    wrap.dispatchEvent(new CustomEvent("input", {bubbles: true}));
  };

  range.oninput();
  return wrap;
}

function mechanisme(theta) {
  const Bx = a_kruk * Math.cos(theta);
  const By = a_kruk * Math.sin(theta);
  const dx = d_v - Bx, dy = -By;
  const dist = Math.hypot(dx, dy);
  if (dist > b_v + c_volger || dist < Math.abs(b_v - c_volger) || dist < 1e-9)
    return null;
  const cos_alpha = Math.max(-1, Math.min(1,
    (b_v ** 2 + dist ** 2 - c_volger ** 2) / (2 * b_v * dist)));
  const angle_C = Math.atan2(dy, dx) + Math.acos(cos_alpha);
  const Cx = Bx + b_v * Math.cos(angle_C);
  const Cy = By + b_v * Math.sin(angle_C);
  const ux = (Cx - Bx) / b_v, uy = (Cy - By) / b_v;
  const Px = Bx + e_v * ux - f_v * uy;
  const Py = By + e_v * uy + f_v * ux;
  return { Bx, By, Cx, Cy, Px, Py };
}

// NaN voor ontbrekende posities zodat de lijn daar onderbroken wordt
koppelkromme = Array.from({ length: 601 }, (_, i) => {
  const r = mechanisme(i / 600 * 2 * Math.PI);
  return { x: r ? r.Px : NaN, y: r ? r.Py : NaN };
});

pos = mechanisme(theta_kruk);

Plot.plot({
  width: 560, height: 500, aspectRatio: 1, grid: true,
  x: { label: "x →", domain: [-2.5, 5] },
  y: { label: "↑ y",  domain: [-3, 4] },
  marks: [
    // Grond arcering
    ...Array.from({length: 12}, (_, i) => Plot.line(
      [{x: -0.1 + i * 0.3, y: -0.06}, {x: -0.22 + i * 0.3, y: -0.28}],
      {x: "x", y: "y", stroke: "#888", strokeWidth: 1}
    )),
    // Grond AD
    Plot.line([{ x: 0, y: 0 }, { x: d_v, y: 0 }],
      { x: "x", y: "y", stroke: "#222", strokeWidth: 5, strokeLinecap: "square" }),
    Plot.line(koppelkromme, { x: "x", y: "y", stroke: "steelblue", strokeWidth: 2.5 }),
    ...(pos ? [
      Plot.line([{ x: 0, y: 0 }, { x: pos.Bx, y: pos.By }],
        { x: "x", y: "y", stroke: "#c0392b", strokeWidth: 5, strokeLinecap: "round" }),
      Plot.line([{ x: pos.Bx, y: pos.By }, { x: pos.Cx, y: pos.Cy },
                 { x: pos.Px, y: pos.Py }, { x: pos.Bx, y: pos.By }],
        { x: "x", y: "y", stroke: "#27ae60", strokeWidth: 2, fill: "#27ae60", fillOpacity: 0.25 }),
      Plot.line([{ x: pos.Cx, y: pos.Cy }, { x: d_v, y: 0 }],
        { x: "x", y: "y", stroke: "#e67e22", strokeWidth: 5, strokeLinecap: "round" }),
      Plot.dot([{ x: pos.Bx, y: pos.By }, { x: pos.Cx, y: pos.Cy }],
        { x: "x", y: "y", r: 5, fill: "white", stroke: "#555", strokeWidth: 2 }),
      Plot.dot([{ x: pos.Px, y: pos.Py }],
        { x: "x", y: "y", r: 7, fill: "steelblue", stroke: "white", strokeWidth: 2 }),
      Plot.text([{ x: pos.Bx, y: pos.By, label: "B" }, { x: pos.Cx, y: pos.Cy, label: "C" },
                 { x: pos.Px, y: pos.Py, label: "P" }],
        { x: "x", y: "y", text: "label", dy: -12, fontWeight: "bold", fontSize: 14,
          fill: (d) => d.label === "P" ? "steelblue" : "#333" }),
    ] : []),
    Plot.dot([{ x: 0, y: 0 }, { x: d_v, y: 0 }],
      { x: "x", y: "y", r: 7, fill: "black" }),
    Plot.text([{ x: 0, y: 0, label: "A" }, { x: d_v, y: 0, label: "D" }],
      { x: "x", y: "y", text: "label", dy: 16, fontWeight: "bold", fontSize: 14 }),
  ]
})

Drie standen

Naast dat we met een vierstangenmechanisme koppelkrommen kunnen beschrijven, kunnen we het ook gebruiken om een lichaam te positioneren. Het ontwerpen van een mechanisme hiervoor noemen we een standensynthese.

Wanneer we drie gewenste standen kennen — drie posities en oriëntaties van het koppellichaam — kunnen we het bijbehorende vierstangenmechanisme construeren. De sleutel is dat elk scharnierpunt op het koppellichaam altijd op vaste afstand zit van het bijbehorende vaste scharnierpunt op de grond: het beschrijft dus een cirkel. Drie punten bepalen uniek zo’n cirkel, en het middelpunt ervan is het vaste scharnierpunt. Dit leidt tot de volgende constructie:

1. Kies twee scharnierpunten op het koppellichaam — de punten waar de kruk en de volger aan het koppellichaam bevestigd worden. De keuze is vrij, maar beïnvloedt het resulterende mechanisme.
2. Teken voor elke stand de positie van beide scharnierpunten in de vaste ruimte. Dit geeft per scharnierpunt drie punten, één per stand (zie Figuur 2).
3. Verbind de drie punten van elk scharnierpunt paarsgewijs met lijnstukken: punt 1 met punt 2, en punt 2 met punt 3. Dit geeft twee lijnstukken per scharnierpunt.
4. Teken de middelloodlijn van elk lijnstuk. De twee middelloodlijnen per scharnierpunt snijden elkaar in precies één punt (zie Figuur 3).
5. Dit snijpunt is het middelpunt van de cirkel door de drie punten en daarmee het vaste scharnierpunt op de grond.

Hiermee zijn beide vaste scharnierpunten gevonden. Verbind elk ervan met het bijbehorende scharnierpunt op het koppellichaam — in één van de drie standen — om de lengte en oriëntatie van de twee stangen te bepalen.

Figuur 2: Stap 1–2 — Kies twee scharnierpunten op het koppellichaam (\(H_1\) en \(H_2\)) en teken hun posities voor elk van de drie standen (driehoeken). \(H_1\) is rood, \(H_2\) paars weergegeven.

Figuur 3: Stap 3–5 — Verbind de scharnierpunten paarsgewijs (gestreepte lijnen) en teken de middelloodlijnen (doorgetrokken). De hoekjes markeren de loodstand. De twee middelloodlijnen per scharnierpunt snijden elkaar in het vaste scharnierpunt A respectievelijk D. De grijze lijnen tonen het gevonden mechanisme in stand 1.

Lesideeën

Een ladekast

Een leuke toepassing van de driestandensynthese die we hierboven uitgelegd hebben, is het ontwerpen van een keukenkast voor in de hoek van een keuken. Hier hebben wij een werkblad voor gemaakt.

OpmerkingEen voorbeeld van dit type ladekast zie je in deze video:

Figuur 4: Deze video laat een hoekkast zien die pannen uit de hoek van een keukenkast laat komen door middel van een vierstangenmechanisme. M