We hebben de volgende constuctie: een staaf \(ABC\) met \(BC=3AB\), en een staaf \(BD\) zodanig dat \(BD=AD\) en dat \(AD\) verticaal loopt met punt \(D\) boven punt \(A\). Ook loopt er een kabel \(EACF\) vanaf een punt \(E\) onder \(A\), via een katrol bij \(A\) en een katrol bij \(C\) naar een haak \(F\) die onder \(C\) hangt. Punt \(A\) kan op en neer bewegen, punt \(D\) is een vast scharnier. Toon aan dat, als \(A\) op en neer beweegt, \(F\) horizontaal beweegt.
Tip
Voeg een punt \(G\) toe op de lijn \(ABC\), zodanig dat we drie gelijkvormige driehoeken hebben: \(ABC\), \(AGH\), \(ACI\). Voeg ook een punt \(J\) toe op de lijn \(CF\), op dezelfde hoogte als punt \(D\).
Uitwerkingen
Bewijs. We voegen punt \(G\) toe op de lijn \(ABC\), zodanig dat \(BG=AB\); en een punt \(H\) op lijn \(AD\), zondanig dat \(AD=DH\); en een punt \(I\) op lijn \(AD\), zodanig dat \(AH=HI\). Dan hebben de gelijkvormige driehoeken \(ABD\) en \(AGH\) (gelijke hoek, en gelijke verhoudingen tussen twee zijden); en gelijkvormige driehoeken \(AGH\) en \(ACI\) (idem); en dus zijn \(ABD\) en \(ACI\) ook gelijkvormig. Hieruit vinden we dat de verticale afstand tussen \(D\) en \(C\) is even groot als \(AD\), dus \(CJ=AD\). Voor de kabel \(EACF\) geldt uiteraard dat \(EA+AC+CF\) constant is, namelijk de lengte van de kabel. Dit is gelijk aan: \[(ED-AD)+AC+CJ+JF=(ED-AD)+AC+AD+JF=ED+AC+JF\] Omdat \(ED\) en \(AC\) constant zijn, is \(JF\) ook constant. Dus beweegt punt \(F\) alleen horizontaal.